Z Dziekanem Wydziału Matematyki, Fizyki i Informatyki dr. hab. Marcinem Marciniakiem, prof. UG, rozmawia rzeczniczka prasowa UG mgr Magdalena Nieczuja – Goniszewska.

- Pretekstem do naszej rozmowy są matury i petycja rodziców o zniesienie obowiązkowej matury z matematyki, która pojawiła się kilka miesięcy temu. Ministerstwo odrzuciło wprawdzie tę petycję, jednak temat został wywołany i niósł się przez media, a zwłaszcza social media. Myślę, że ten temat będzie wracał.

- Możliwe, że wejdzie w program jakiejś partii opozycyjnej. Przede wszystkim chciałem zwrócić uwagę, że maturę w 2007 roku wprowadzono, ale właściwie przywrócono ją po kilkunastoletniej przerwie. Matematyka właściwie od zawsze była na maturze obowiązkowa. Tylko na jakiś czas z niej zrezygnowano.

- Wydaje mi się, że kwestia utrzymania obowiązkowej matury to nie jest istota problemu. Jest nią raczej nauczanie matematyki w szkołach. Na czym polega, Twoim zdaniem, problem z matematyką, że ta kwestia budzi emocje?

- Moim zdaniem matura z matematyki powinna być obowiązkowa, chociaż trudno mi bronić matury w obecnym kształcie. Zgadzam się z Tobą, że nauczanie matematyki powinno ulec gruntownej zmianie. W moim „idealnym świecie” nauczanie matematyki wyglądałoby zupełnie inaczej. I wtedy chciałbym, żeby matura z matematyki zdecydowanie była obowiązkowa.

- To jak powinno to nauczanie wyglądać?

- Przede wszystkim musimy odpowiedzieć sobie na pytanie - po co w ogóle uczymy matematyki? Wydaje mi się, że cele nauczania są często formułowane niewłaściwie, a niektórzy nauczyciele nie do końca je rozumieją. Czy po to uczymy królowej nauk, żeby człowiek przez całe dorosłe życie znał twierdzenie Pitagorasa i biegle operował funkcjami trygonometrycznymi? No nie. To nie o tu chodzi. Tu nawet nie chodzi tak bardzo o wiedzę, lecz o umiejętności.

- Żeby umieć rozliczać podatek?

- Nie. Wbrew powszechnym przekonaniom w ogóle nie chodzi o żadne praktyczne umiejętności. Umiejętność rozliczania podatku przychodzi trochę jako „efekt uboczny”. Innym „efektem ubocznym” jest np. umiejętność złożenia mebla według instrukcji dostarczanej przez pewną szwedzką sieć handlową. Właściwym celem nauczania królowej nauk powinna być umiejętność analizowania pojęć istniejących w sferze imaginacji. Nazywamy to myśleniem abstrakcyjnym. Dzięki tej umiejętności jesteśmy w stanie „oglądać” obiekty, które nie istnieją w sposób fizyczny.  Umiemy też analizować ich własności oraz komunikować się o nich nawzajem. Nie możemy na przykład obejrzeć ani zbadać jakimkolwiek zmysłem takich „obiektów” jak prawda, dobro czy świadomość. A jednak czasami udaje nam się o tym rozmawiać i nawet czasami wydaje nam się, że wszyscy wiemy, o czym mówimy i że wszyscy mamy to samo na myśli.

Pojęcia, które przytoczyłem, są trudne. Już na poziomie definicji możemy mieć problemy. Jak nabyć sprawności w operowaniu takimi złożonymi konstruktami myślowymi? Potrzebujemy czegoś łatwego, na czym możemy trenować. I tutaj wkracza matematyka ze swoimi liczbami, trójkątami, równaniami, itp. To też są pojęcia abstrakcyjne, ale jakże są one proste w porównaniu z przytoczonymi wcześniej. Matematyka oferuje też konkretne reguły wnioskowania, których użycie gwarantuje, że cały czas pozostajemy w obszarze prawdziwych zdań opisujących własności tych obiektów.

Porównałbym to do tworzenia bajek. Każda bajka ma swoiste uniwersum rządzące się swoimi zasadami. Wiadomo, jakie cechy ma księżniczka, a jakie czarownica. I cała historia toczy się zazwyczaj z poszanowaniem tych zasad. Gdy opowiadamy dzieciom bajkę, trzeba trzymać się tych reguł, bo one wykrywają niekonsekwencje i może się skończyć niezłą awanturą. Możemy oczywiście zmieniać reguły uniwersum i wtedy historia może się toczyć według innych zasad. Patrząc na to z matematycznego punktu widzenia, możemy powiedzieć, że zmieniamy zbiór aksjomatów bajki.

Gdy mówimy o liczbach, kwadratach, czy o jakimś trójkącie, to też opowiadamy o rzeczach, które realnie nie istnieją, które są pewnym konstruktem myślowym. I też trzymamy się pewnych zasad i reguł. Różnica jest taka, że tutaj są one ustalone na sztywno przez zasady logiki. Uczymy się poruszać w świecie tych reguł. Opowiadamy sobie czym jest na przykład trójkąt, dlaczego jest prostokątny itp. Nazywamy to przeprowadzaniem rozumowania. W szkole dzieci zazwyczaj nie lubią zadań na dowodzenie. Moim zdaniem wynika to z tego, że niepotrzebnie już od początku uczymy formalizowania procesu dowodzenia. Nauczyciel uczy określonego sposobu zapisu, używania odpowiedniego słownictwa i symboliki. Tymczasem dowodem może być dowolna opowieść, byleby respektowała założone przez nas reguły – definicje i znane już twierdzenia. Jak to zapiszemy, jak to opowiemy, to jest zupełnie drugorzędna sprawa. Ważne, żeby były zawarte wszystkie poprawne argumenty i żeby kończyło się konkluzją i żeby dziecko rozumiało, że to wszystko prowadzi do konkretnego celu, żeby nawet umiało się o to pokłócić z nauczycielem. Wyobrażam sobie nawet, że aktywny nauczyciel mógłby próbować jego myślenie zwieść na manowce, a dziecko powinno umieć bronić swego rozumowania. Zobacz, ilu rzeczy w tym momencie uczymy – uczymy manipulowania pewnymi abstraktami, a w dorosłym życiu bardzo często to robimy np. mówiąc o uczuciach, zastanawiając się, czym jest świadomość, co to jest prawda itd. To są strasznie skomplikowane, abstrakcyjne pojęcia, które są o wiele trudniejsze.

- Tak, ale to są pojęcia otwarte, a matematyka z tymi liczbami i regułami już ma ograniczenia.

- Nie do końca się z tym zgadzam. Możemy się spierać o definicję prawdy czy świadomości, ale wspaniale byłoby, gdybyśmy odczuwali potrzebę zdefiniowania ich. Próbujmy sprecyzować o czym mówimy i wtedy wymieniajmy się rzeczowymi argumentami w ramach jakiejś przyjętej konwencji. W matematyce konwencje są ściśle określone przez logikę. To powoduje, że to wszystko jest łatwiejsze, prostsze do zweryfikowania. Istnieje test czy rozumowanie jest poprawne czy nie. Pytamy ucznia: uzasadnij, że ten trójkąt jest równoramienny. Wystarczą zazwyczaj dwa, trzy argumenty i dziecko w pewnym momencie samo widzi, czy to wystarczy czy nie. W ten sposób jest już przygotowane do o wiele trudniejszych dyskusji.

- Zupełnie nie widzę tak matematyki. Ona mi się kojarzy z bardzo konkretnymi opowieściami – typu – przepraszam – liczenie bananów – ten miał tyle, a zjadł tyle…

- Bo tak uczymy matematyki.

- Zauważ - literatura – jej opis się zmienia. Nawet to, co wydawało się taką żelazną charakterystyka postaci – weźmy przypadek ostatnich miesięcy – Wokulski – zawsze uczyliśmy się, że on dobry, Łęcka zła tak w dużym uproszczeniu a teraz, gdy zmienił się świat, zmienia się społeczeństwo – Wokulski jawi się młodym jako stalker. A co zmieni się w tej szkolnej matematyce? Reguły są opowiedziane, Podane i wyuczone. 2 i 2 banany mają dać 4.

- Matematyka szkolna nie ma być wiedzą. Na takiej matematyce, o której ja mówię jako tej uczonej „po mojemu”, nie chodzi o odpytywanie z tabliczki mnożenia. Miej tę tabliczkę przed sobą, ale ona jest tylko narzędziem. Matematyka ma być polem treningowym do przeprowadzania tych debat, o których mówisz. Mamy prostą rzecz – przeanalizujmy ją, czy jesteśmy w stanie zweryfikować swoje argumenty, swoje zdanie. Tu nie chodzi o wynik. Nie on powinien być najważniejszy, moim zdaniem, w rozwiązywaniu zadań szkolnych. Ważna jest intelektualna przygoda polegająca na wymyślaniu drogi dojścia do rozwiązania. To nie jest tak, że w matematyce jest zawsze jedna droga. Można używać różnych dróg i trików. Narzucone są jedynie reguły, które weryfikują, czy to jest poprawne czy nie. Tutaj właśnie widzę dużą możliwość kształtowania kreatywności myślenia poprzez zachęcanie np. do wymyślania najprostszych rozwiązań czy do optymalizacji tego co już wymyśliliśmy. Można do rozwiązania dojść bardzo długą drogą i zwykle tak nauczyciele zalecają, bo ktoś ustalił klucz rozwiązania. I to właściwie zabija kreatywność, bo dziecko często już od razu widzi, jakie jest rozwiązanie a my każemy mu to dokładnie zapisać według arbitralnego szablonu. Wtedy często dziecko się zniechęca i odkrywa, że jest „humanistą”.

- A nie jest to nauka tego procesu, o którym mówiłeś wcześniej? Myślenia matematycznego?

- Nie. To jest uczenie, że kreatywność nie popłaca.

- Ale skąd będziesz wiedział, że ten uczeń nie ściągnął wyniku od kogoś?

- Ale mnie wynik tu najmniej obchodzi! Opisz, jak do niego doszedłeś, jaki jest Twój pomysł. Mam zwykle kłopot ze studentami. Tłumaczymy sobie np. dlaczego zbiór liczb rzeczywistych jest zupełną przestrzenią metryczną. I potem pada pytanie – jak mam to zapisać? Pytam – o co chodzi, z czym jest problem? Co sobie powiedzieliśmy? Odpowiada - powiedzieliśmy to i to. Odpowiadam – to napisz to słowami, zdaniami.

- Jak  to - zdaniami w matematyce? O czym mówisz?

- Ależ to może być opowieść. Tym bardziej wartościowa, że samodzielnie przetworzona. Jako profesjonalista posługuję się jakimś systemem zapisów, bo mi to po prostu ułatwia życie. Nie jest jednak tak, że ich użycie jest jakimś warunkiem koniecznym poprawności rozumowania. Jeśli nie czujesz się dobrze z tą symboliką, z tym formalizmem, zapisz swoje rozumowanie słowami. Na wykładzie czasami używam znaków logicznych, np. ∧, ∨, ⟺,  a czasami nie, żeby pokazać, że można je zapisać słowami „i”, „lub”, „wtedy i tylko wtedy, gdy” i świat się nie zawali. A ludzie wychodzą ze szkoły z przekonaniem, że jest to niemalże jakiś kodeks albo katechizm, a matematykę trzeba zapisać tylko w taki jedyny sformalizowany sposób, bo inaczej to nie zadziała. No nie – tu jest całe spektrum możliwości indywidualnego podejścia. Można używać różnych argumentów. W matematyce jest jedyne kryterium – czy to jest poprawne czy nie. Oczywiście, zajmując się profesjonalnie matematyką wyrabiamy sobie specyficzny gust i mówimy np., że jeden dowód jest bardziej elegancki, inny mniej. Ale nie jest to kryterium, którymi posługują się np. recenzenci. Po prostu dowód ma być poprawny.

- A nie masz wrażenia, że matematyki w szkole uczy się w taki a nie inny, schematyczny, sposób, żeby ktoś potem w dorosłym życiu umiał np. rozliczyć podatki albo w wersji prostszej przynajmniej procent napiwku w restauracji?

- Ale to już dawno wyliczają nam różne aplikacje, więc ta umiejętność w ogóle nie ma znaczenia. Chociaż nie wykluczam, że zdaniem twórców podstawy programowej po to właśnie uczymy matematyki. Słyszałem nieraz argumenty typu: „No, a co zrobisz cwaniaczku, jak prąd wysiądzie i żaden komputer nie będzie działał?”

- W taki razie po co nam matematyka na co dzień?

- No właśnie po to, żeby nauczyć się przetwarzania informacji o abstrakcyjnych pojęciach i dzielenia się tymi informacjami z innymi. Przykładowo, to, że ze mną rozmawiasz i sensownie dyskutujesz, jest – moim zdaniem – zasługą tego, że m.in. uczyłaś się matematyki.

- A myślałam, że to dlatego, że byłam w humanistycznej klasie i jestem wygadana (śmiech).

- Kiedyś najlepsi humaniści byli najlepszymi matematykami. I wcale nie przekonują mnie argumenty typu „jestem humanistą, bo nie znam tabliczki mnożenia”. Nie będzie dobrym humanistą człowiek, który „nie ogarnia”, mylą mu się kierunki implikacji, nie potrafi argumentować. To są wszystko umiejętności matematyczne.

- Wracając do petycji – jeden z argumentów twórczyni petycji był taki: dlaczego w świecie, gdzie jest wolność wyborów, 18-letnim ludziom, którzy często już mają prawo głosować itd. narzucamy na maturze matematykę. Kwestię języka polskiego pomijam, bo to język narodowy.

- Odpowiedziałbym tak: sama matura nie jest obowiązkowa. Jest ona świadectwem osiągnięcia pewnych kompetencji: po maturze można być policjantem, urzędnikiem średniego szczebla i wykonywać różne inne zawody, które wymagają pewnej odpowiedzialności. I tu odwrócę sytuację – mamy prawo, jako obywatele, od człowieka, który ma świadectwo maturalne, oczekiwać, że potrafi choćby krytycznie myśleć, analizować pewne sytuacje i porozumiewać się w pewien uporządkowany sposób. Niekoniecznie musi znać na pamięć twierdzenia dotyczące sinusów i cosinusów, tego nie będę bronił, ale powinien potrafić znaleźć rozwiązanie, poradzić sobie z pewnym problemem, przeanalizować go, może wskazać błąd w jakimś rozumowaniu. Raczej tak bym to widział. Moim zdaniem, konieczna jest pewność, że człowiek ze średnim wykształceniem jest zdolny do podejmowania ról życiowych, do jakich go to wykształcenie uprawnia.

- Ale są też osoby i jest ich coraz więcej mające zaświadczenie np. o dysgrafii. Czy Twoim zdaniem taka osoba, gorzej radząca sobie z pewnego rodzaju abstrakcyjnym myśleniem, ale w innych obszarach nie mniej inteligentna niż osoby, które nie mają takiej dysfunkcji, powinna być na starcie dyskwalifikowana?  Bo ma problem z tą matematyką…

- Zadam teraz pytanie, z jaką matematyką ma problem? To jest bardzo delikatna sprawa, bo rozumiem, że może mieć problem np. z operowaniem liczbami. Jeśli ma jednak problem z przeprowadzaniem prostych rozumowań, czyli z tą matematyką, o której mówię, to nie wiem…

- Ale matematyki, o której Ty mówisz nie ma w żadnej szkole, którą znam.

- Ale ja nie jestem jakimś ortodoksem. Wielu ludzi z naszego środowiska naukowego myśli tak jak ja. Z jakiegoś powodu natomiast niestety nie mamy przełożenia na kształt minimów programowych i tego, jak się uczy matematyki.

- Wy kształcicie tych matematyków w uniwersytetach, oni potem idą do szkół i uczą jak uczą.

- Inaczej – zacznijmy od źródeł, od początku: kto przygotowuje ludzi uczących nauczania wczesnoszkolnego? Nie matematycy, lecz pedagodzy mający podstawowe pojęcie o matematyce. A to najważniejsze trzy lata w kształtowaniu się tych umiejętności! W ciągu tych pierwszych trzech lat albo utrwalimy naturalną ciekawość jaką ma dziecko, albo ją zabijemy. A niestety, najczęściej po tych trzech latach dzieciaki idą dalej i już wiedzą, że nie lubią matematyki. Bo np. były dręczone tabliczką mnożenia, bo nauczycielce/nauczycielowi wydawało się, że to jest istota matematyki. Nauczyciele ufają pewnie po prostu tym podręcznikom, zaleceniom programowym, które są układane - znów przede wszystkim przez nauczycieli, bywa, że ze starszego pokolenia. Do różnych rad eksperckich przy ministerstwie powoływani są zwykle nauczyciele cenieni, z długim stażem itp. I powiedzmy to wprost – oni nie zmienią niczego. I rozważają jedynie, czy tabliczką mnożenia męczyć już sześciolatków czy dopiero siedmiolatków. A nie to jest najważniejsze! Według mnie naprawdę dziecko nie musi umieć recytować tabliczki mnożenia, bo są komputery, kalkulatory, smartfony, Wykonywanie działań to jest najmniej ważna rzecz w matematyce! Człowiek już nie potrzebuje wiedzieć, ile reszty dostanie w sklepie, bo zapłaci smartfonem, kartą itp. To nie o to tutaj chodzi. Niech uczy się krytycznie, na swoim poziomie, analizować pewne sytuacje. W latach 80.w trakcie moich studiów uczono mnie teorii Piageta, który wręcz twierdził, być może trochę trywializując, że nie jest tak, że edukację należy zaczynać od szczegółu i to uogólniać. Czyli niekoniecznie najpierw należy liczyć banany, potem truskawki i jabłuszka, po to, by w końcu zauważyć, że wszystko to można liczyć tak samo. Zdaniem niektórych psychologów rozwojowych dziecko nie ma problemu z ogarnięciem ogólnych, abstrakcyjnych pojęć, bo właśnie, paradoksalnie, jego umysł jest mniej zaśmiecony szczegółami. Dziecko ucząc się o dodawaniu jabłek, potem o dodawaniu bananów przedstawianych na początku jako kompletnie różne rzeczy, potem dopiero ma dojść, że to jest to samo. A to starta czasu dla dziecka, ono doskonale sobie poradzi z takimi prostymi abstrakcyjnymi pojęciami. Nie marnujmy więc jego czasu i umysłu! W tym czasie, w wieku od pięciu do ośmiu lat, dziecko ma najbardziej chłonny umysł. Wykorzystajmy więc ten moment jak najlepiej!

- Co w zamian za te banany i jabłka?

- Należy pochylić się nad tym tematem i zastanowić jak rozwiązać problem nauczania. Idźmy w rozwiązywanie zagadek, także liczbowych. Może należy nauczać matematyki na tym poziomie poprzez bajki, takie bardziej ustrukturyzowane opowiastki? Wymyślamy uniwersum, jak w jakiejś mandze na przykład, gdzie są jakieś zasady, które wymyślamy razem z dzieciakami. I zadawajmy im pytania: jeśli coś się wydarzyło to jak to potoczy się dalej zgodnie z określonymi już wspólnie zasadami? I tak można uczyć się tego, co jest ważne w matematyce – przestrzegania reguł i prowadzenia logicznego myślenia.

Cała matematyka wynika tak naprawdę z umów, które są zapisane w pojęciach pierwotnych aksjomatach. Jak zmienimy aksjomaty to matematyka będzie inna, To, że przyjęliśmy akurat aksjomatykę ZFC wynika z faktu, że dzięki temu matematyka może opisywać np. pewną rzeczywistość fizyczną. Ale - aktualnie w fizyce jest problem z unifikacją teorii względności i mechaniki kwantowej. Kto wie, czy nie wynika to ze słabości aktualnie przyjętej aksjomatyki? Może należy ją zmienić? Może należy zmienić pewne zasady wnioskowania z matematyce? Uczmy dzieci tego, że ścisłość w matematyce jest przestrzeganiem pewnych konwencji, ale ten system ma formułę otwartą, bo konwencje można zmieniać.

- No tak, ale to się dzieje w pewnym stopniu w tych różnych szkołach typu Montessori itp. Ale potem te wszystkie dzieci trafiają do tego samego lejka pt. testy ośmioklasisty.

- Testy ogłupiają i zabijają ciekawość.

- Tak i potem znowu w szkole średniej: czy jesteś w szkole w chmurze czy gdzie indziej – trafiasz na egzamin maturalny. Tu się nic nie zmieni, nie oszukujmy się. I znowu wracam z pytaniem: to po co męczyć te dzieciaki, które nie polubią matematyki w szkole i się jej nie nauczą?

- To jak się nie nauczą, to po co im matura?

- 18 lat nie było matury z matematyki i czy to coś zmieniło? Moje pokolenie i młodszych ode mnie nie było głupsze niż to, które teraz musi zdawać. Wręcz uważam, że paradoksalnie byliśmy lepiej przygotowani, bez „ciśnienia” tych testów.

- Będę bardzo demagogiczny, ale to pokolenie walnie przyczyniło się do tego jaka była i jaka jest sytuacja polityczna.

- Ale to nasze pokolenie rozpędziło gospodarkę!

- To gen cwaniactwa (śmiech). A poważnie mówiąc - w nauczaniu matematyki też widzę misję, że będziemy chronili ludzi przed różnego rodzaju szarlatanami np. z ruchów antyszczepionkowców czy płaskoziemców. Ludzie nie mający kompetencji krytycznego analizowania rzeczywistości są bardzo podatni na tego typu wpływy.

- Niestety, ostatnie wyniki Eurobarometru pokazały, że Polska jest w ogonie, jeśli chodzi o wiedzę naukową, wierzymy jako naród, że szczepionki powodują autyzm, uważamy, że antybiotyk zabija i wirusy i bakterie itp. itd. W tej grupie powiedzmy ludzi niedouczonych, o których też mówisz Ty – wiodącymi są ci, co akurat mieli maturę z matematyki.

- I tu dochodzimy do tego problemu, o którym wciąż mówimy – nauczanie matematyki się zdegenerowało. Problemem niestety jest to, że nauczyciele sami nie rozumieją po co uczą matematyki. Pomagałem w przygotowaniu się do matury córce koleżanki, która kończyła średnią szkołę muzyczną w Austrii. Zależało jej na lepszej ocenie z egzaminu, a miała maturę z matematyki obowiązkową. Co więcej, na tej maturze miała tematy, które u nas są ledwie realizowane na profilu matematycznym, tzn. elementy rachunku różniczkowego i rachunku całkowego. Nie musiała liczyć, ale wiedziała czym jest całka i jak ją interpretować np. obliczając dystans, jaki przejechał samochód ruchem bardzo niejednostajnym. Rozumiała, że jest to pole pod wykresem funkcji prędkości. I musiała używać kalkulatora naukowego na maturze. Bo większość zadań nie dotyczyła kąta 30,45 albo 60 stopni. Umiała korzystać z aplikacji matematycznych takich, jak np. geogebra. Matematyka tam była zupełnie inna. Nastawiona na analizę, umiejętność modelowania prostych zjawisk za pomocą równań. I raz jeszcze - nie każdy musi lubić i rozumieć matematykę, ale też nie każdy musi mieć maturę.

- To może postawmy tu kropkę. Tego problemu nie rozstrzygniemy, ale może ta petycja i dyskusja wokół niej spowoduje, że jednak zacznie się coś zmieniać w nauczaniu matematyki. Dziękuję za rozmowę.